变指数超线性双相问题的Nehari流形方法
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2025-02-05
囚徒困境、雪堆游戏和猎鹿游戏都是双人对称游戏，通常被认为是跨学科合作困境的典型例子。然而，令人惊讶的是，对于这些和其他二元行动对称游戏中“合作”和“合作困境”这两个词的精确数学含义却鲜有共识，特别是在考虑两个以上玩家之间的互动时。在这里，我们提出了这些术语的定义，并探讨了它们在与社会最优性相关的合作困境平衡结构中的进化后果。我们表明，我们对合作困境的定义包含了大量在文献中经常讨论的集体行动游戏，包括拥堵游戏、参与协同游戏和公共物品游戏。我们的一个主要结果是，不管参与者的数量是多少，所有的合作困境——包括多人推广的囚徒困境、雪堆博弈和猎鹿博弈——都具有合作不足的低效均衡，但不可能存在合作过剩的均衡。我们还找到了在合作困境中充分合作是社会最优的简单条件。我们的框架和结果统一、简化和扩展了以前关于二元行动和两个或更多参与者的合作困境的结构和性质的工作。
合作(或社会)困境可以被非正式地描述为群体中个人的合作行为在个人和集体利益之间存在紧张关系的情况[13,32,35,48,62,80]。紧张的产生是因为合作可以使整个群体受益，但个人可能更愿意减少自己的合作，并利用他人的合作行为。合作困境的例子包括公共产品的私人提供[6,51]、公共资源的管理[52]、警惕和哨兵行为[11]、投票[55]、抗议和其他形式的政治参与[14]、疫苗接种[70]、病毒大流行期间戴口罩[76]等等。
鉴于合作困境的普遍性，对合作困境及其解决方法的研究在经济学、政治学、人类学、心理学、社会学和进化生物学等领域引起了极大的关注。在这些不同的学科中，博弈论已经成为形式化和思考合作困境的标准方法[26,43,82]。从这个角度来看，社会互动被概念化为一种博弈，其均衡预测了个人长期的战略行为。这种平衡是个体理性、个体或社会学习的结果，或者是进化作用于群体的结果。合作困境的文献使用了不同的均衡概念，包括纳什均衡(NE)、进化稳定策略(ESS)和复制因子动态的渐近稳定均衡(ASE)[75]。在这里，我们使用ESS作为均衡的概念和指导原则。简单地说，ESS是这样一种策略:如果一个群体的所有成员都采用它，那么没有一种罕见的替代策略会更好[42]。ESS是(对称)NE的均衡细化，对于我们在本文中考虑的博弈，等同于ASE的概念[9]。
可以想象，合作困境最简单的博弈论表示是参与者同时在两种可选行动或策略(“合作”和“背叛”)中选择的完全信息对称博弈，即多人矩阵博弈[8,9,27,57]。这种双策略合作困境最典型的例子是二人囚犯困境[64]。在这个博弈中，“叛逃”是一种优势策略(所以无论同伴的选择如何，叛逃都是个体的最佳选择)，因此也是唯一的ESS(所以叛逃者群体不会被以某种概率合作的突变体入侵)。然而，相互的“合作”给双方玩家带来了更高的收益，对于某些收益星座来说，这可能是社会最优的结果。(两人)囚徒困境以最赤裸裸的方式抓住了合作困境的本质，人们被困在一个独特的ESS中，没有合作行为，而预期收益将在某种积极的合作水平上最大化。
尽管早期的研究只关注囚犯困境，但人们已经意识到，在许多情况下，其他两种双人博弈可以更好地代表自然界或社会中发生的合作困境:雪堆博弈[21](或小鸡博弈[65])和猎鹿博弈[71](或保证博弈)。囚徒困境的特征是贪婪(如果合作者合作就会有背叛的动机)和恐惧(如果合作者背叛就会有不合作的动机)，而雪堆游戏的特征只有贪婪(而不是恐惧)，猎鹿游戏的特征只有恐惧(而不是贪婪)。这些不同的激励结构导致不同的ESS模式。首先，对于雪堆博弈，存在一个独特的ESS，其特征是存在一些合作，尽管少于最大化预期收益。因此，与囚徒困境相比，某种程度的合作是进化稳定的。然而，在囚徒困境中，这种稳定的合作水平低于社会最优水平。其次，对于猎鹿，存在两个ESS:第一个是不合作的ESS，第二个是完全合作的ESS，其中完全合作的ESS与社会最优合作水平一致。因此，与囚徒困境相比，社会最优合作水平是进化稳定的。然而，在囚徒困境中，总体可能会陷入没有人合作的均衡状态。总的来说，囚徒困境、雪堆博弈和猎鹿构成了描述和思考两人互动中的合作困境的三个典型例子[35]。
根据近几十年来发表的关于合作困境和社会困境的大量研究，人们可以预期在如何精确定义“合作”和“合作困境”等概念方面会有广泛的共识——至少对于对称矩阵博弈是如此。然而，情况似乎并非如此。事实上，存在多种共存的定义[13,48,61]，这些定义通常在行动的合作状态(或不合作)或游戏的合作困境状态(或不合作)方面存在分歧。从两名玩家变成两名以上玩家只会加剧问题。部分问题在于，如果支付不平等成立，许多定义将游戏归类为合作困境，而其他定义则强调平衡结构(如ESS模式)与最大化预期回报的社会最优策略的位置有关。这种模棱两可与围绕进化生物学中“利他主义”一词的不同解释相似(并非无关)[34]。
在此，我们基于先前的研究[13,33,34,35,57,59,60,61]提出了“合作”、“社会困境”和“合作困境”的定义，这些定义在内部是一致的，有助于描述社会互动的结果。我们还提供了旨在容易识别合作困境的结果，并提出了用于社会困境研究的三合一游戏的多人推广，即囚犯困境，雪堆游戏和猎鹿游戏;我们还展示了这些多人合作困境与两人合作困境的相似之处。我们考虑了之前在文献中讨论过的几类集体行动游戏，并展示了所有这些游戏是如何落入我们所定义的合作困境类别的。我们还确定了相互合作是社会最优的简单条件，即充分合作以最大化预期平均收益。我们最后会问，在两个人囚徒困境，雪堆博弈和猎鹿博弈中，合作是否总是在合作困境的无效率均衡中不足。Gradstein和Nitzan[28]以及Anderson和enger[1]之前也提出过类似的问题，但针对的是更具体的合作困境类别。
我们考虑具有和表示的两种纯策略(或行动或选择)的普通形式游戏。我们专注于玩家之间的对称游戏，即所有玩家在游戏中扮演相同的角色，并且任何玩家的收益仅取决于其自己的选择以及选择两种可用行动的玩家数量。我们写(回复)对于玩家选择的收益(参见)当k个同伴选择。收益可以写成矩阵形式
（1）我们收集收益序列中的收益。我们假设这是成立的，以排除无趣的情况，即收益独立于所选择的行为。然而，对于某些值，也就是说，收益可能是“非一般的”。同样地，我们假设和并不是同时不变的，这样就可以排除无趣的情况，即两种收益序列都独立于k，因此也独立于合作玩家所选择的行动。自始至终，“游戏”这个词应该被理解为指的是这种双策略对称游戏。
我们考虑混合策略表示为，其中x是参与者选择的概率(以及参与者选择的概率)。因此，纯策略(resp.)对应于混合策略(参见)。． 我们称混合策略为，完全混合策略。我们的主要重点将放在对称策略配置文件中，其中所有参与者都采用相同的混合策略x。特别是，我们将对所有参与者使用的进化稳定的混合策略(即进化稳定策略，ESS)以及它们与所有对称策略配置文件中最大化预期平均收益的策略配置文件的关系感兴趣。我们将后面的对称策略概况称为社会最优(见3.3节的正式定义)。
对于上述所描述的游戏，我们何时可以说行动对应“合作”，行动对应“背叛”?为了回答这个问题，我们提出以下合作行动(因此，“合作”)的定义，我们将自始至终支持这个定义。
(合作)行动是合作的，当且仅当(i)相互优于相互，即:
（2）(ii)行为导致“积极的个体外部性”，即:
（3）成立，至少有一个这样的不等式是严格的。
定义1包含两个条件。首先，条件(i)意味着如果所有人都选择，玩家获得的收益比所有人都选择的收益更大。这种情况经常出现在之前的多人“社会困境”、“合作困境”或“合作游戏”的定义中，因此隐含地包含在合作行为的属性中[13,33,48,60,61]。第二，条件(ii)是要求-参与者和-参与者的收益在合作参与者的数量中不减少(至少有时是增加)。换句话说:焦点玩家从背叛到合作的单方面转变永远不会减少，有时还会增加特定合作玩家的收益。定义1的条件(ii)的强版本和弱版本(以及积极的个人外部性的潜在概念)之前已经出现在文献中，以表征多参与者合作的博弈论和群体遗传学模型中的合作行动(或合作类型)的含义。条件(ii)的一个更强的版本(即收益序列和都是严格增加的，即Eq.(3)，但具有严格的不平等)作为[34]提出的利他主义“以个人为中心”解释的一部分出现。该条件的一个较弱版本(即在没有一个不平等严格遵守的额外要求的情况下，收益序列和收益序列都是非递减的)已经作为“n人社会困境”[33]、“合作博弈”[60]和“多人社会困境”[61]的定义的一部分出现。我们对条件(ii)的表述介于上述表述之间，排除了收益对合作参与者中合作者数量完全不敏感的情况，同时允许在某些情况下，参与者的收益可能与合作者数量的增加保持不变。例如，我们在5.3节中讨论的志愿者困境和团队合作困境就是这种情况。
并非所有合作型游戏都存在社会困境，即在选择合作行为时个人利益与集体利益之间存在冲突。为了说明这一点，考虑一个带有收益矩阵的两人博弈
（4）令人满意的。在这样一个“和谐博弈”[37]中，行动是合作的，双方合作的对称策略轮廓为双方实现了最高的可能收益(即)。因此，这是社会最优，这符合参与者的集体利益，他们都合作。同时，由于收益不平等，合作占主导地位。因此，无论其他玩家做什么，选择都符合每个玩家的个人利益。因此，个人利益和集体利益是完全一致的，不存在明显的困境。
以和谐博弈为例，我们可以通过在定义1中添加行动不占主导地位的要求来定义合作困境。例如，Płatkowski [61, Axiom 3]采用的方法就是这种方法。正如我们将在第4节中解释的那样，从进化的角度来看，对于两个以上玩家的游戏，这种方法是不令人满意的。相反，为了抓住这种直觉，即社会困境应该描述个人利益与集体利益之间存在冲突的情况，我们引入以下定义:
(社交困境)如果游戏的ESS不是社交最优，那么它就是一个社交困境。
定义2类似于Kollock给出的定义[35，第184页]，他将社会困境定义为具有“至少一个缺陷均衡”的博弈。很明显，在和谐博弈中，唯一的ESS是，因此与社会最优一致。因此，根据定义2，和谐游戏不是一个社会困境。“囚徒快乐”也是如此[72]，即具有满意收益的双人博弈，其中行动是合作的，独特的ESS再次与社会最优一致。
在定义1和2的基础上，我们将合作困境定义如下:
(合作困境)合作困境是一种具有合作性的社会困境。
就两人博弈而言，之前关于社会困境的许多文献都将囚徒困境、雪堆博弈(或小鸡博弈)和猎鹿博弈(或保证博弈)作为合作困境的典型例子[35,61]。定义3与本文献一致。事实上，正如我们稍后证明的那样(见命题2)，根据我们的定义，这是仅有的三种不同的双人博弈，属于合作困境。表1记录了我们用来定义这些游戏的收益不平等。注意，我们对囚徒困境的定义比标准定义更宽容，标准定义要求。类似地，雪堆游戏和猎鹿游戏的标准定义要求表1中对应行中的所有四个不等式都是严格的。我们的定义符合允许定义1条件(ii)中的弱不等式，并避免了繁琐的情况区分。
在第4-6节中，我们将探讨定义3对第2.1节中定义的一般游戏类别的影响。对于多于两名玩家的游戏来说，这比两名玩家的游戏更具挑战性，并且需要额外的工具和定义。我们将在下一节中介绍这些特性。
在这里，我们将介绍用于推导结果的概念和工具。首先，我们简要地指出我们将用来描述序列和函数的符号术语。其次，我们定义了决定博弈ESS结构的私有收益函数。第三，我们定义了决定社会最优的社会收益函数。第四，定义外部增益函数;这就是社会函数和增益函数的区别。第五，也是最后，我们简要地介绍了序列的Bernstein变换。伯恩斯坦变换对我们的分析很重要，因为它们提供了由博弈收益决定的序列符号结构与对我们的分析很重要的各种增益函数之间的联系。图1是我们将在下面介绍的一些概念的示例。
具有收益序列和的五人博弈。这是5.3节中所讨论的公共物品博弈的一个例子，其收益顺序为，成本顺序为。动作是合作的(定义1):(i)持有，(ii)以及递增的序列。这款游戏拥有独特的混合ESS和独特的社交最佳满足感。因为，该博弈是一个社会困境(定义2)，因为是合作困境，也是一个合作困境(定义3)。左图:-玩家()和-玩家()的预期收益分别是收益序列和的Bernstein变换。支持完全混合ESS(完全混合ESS的“无差异条件”)。社会最优是期望平均收益w(x)的全局最大值。右图:私人增益函数g(x)、社会增益函数s(x)和外部增益函数h(x)分别是私人增益序列、社会增益序列和外部增益序列的Bernstein变换
我们将经常使用特定的语言来描述序列(例如，下面定义的私有、社会和外部序列)和函数(例如，下面定义的私有、社会和外部函数)的符号属性。例如，对于给定的序列，初始值(resp。最后的符号是指第一个符号(如:的非零元素，的符号模式是指去除连续重复值后的非零元素的符号序列。我们也将序列称为正序列。如果它的所有元素都是非负的，则为负。非正数)，并且至少有一个元素是正数(例如:负面的)。我们建议读者参阅“附录A”以获得这些概念和其他相关概念的更正式定义。类似的符号概念也适用于实函数;见“附录B”的正式定义(限于多项式上的单位区间，这是实数函数类与我们的分析相关)。
当所有合作玩家都玩x时，一个参与人的预期收益是
（5）同样，当所有合作玩家都玩x时，一个玩家的预期收益是
（6）我们把这两个预期收益之间的差称为私有收益函数，用g表示。它由
（7）在哪里
（8）即一个玩家与k个其他玩家互动的收益与一个玩家与k个其他玩家互动的收益之差。这种差异可以解释为焦点玩家所享有的私人收益，他将自己的行为从k个合作玩家切换到其他合作玩家。我们收集了私人收益序列中的术语。
我们对私有收益函数感兴趣(7)，因为它决定了游戏的ESS结构(见“附录C”中的引理3)。特别是纯策略(resp)。是一个ESS当且仅当g是负的。肯定的)在附近的一个小社区(代表)，而完全混合策略是ESS，当且仅当g的符号从正变为负。因此，完全混合的ESS是g的根(即，完全混合的ESS是的解)。由于私有增益函数(7)是一个度的多项式，因此找到完全混合的ESSs需要求解一个多项式的度方程。
当所有合作参与者都采取混合策略x时，一个参与者采取混合策略x的预期平均收益是
（9）这也可以解释为一个群体的预期总体收益其中x的个体属于类型，x的个体属于类型。社会最优是一种混合策略
（10）最大化w。为了便于解释，我们自始至终假设社会最优是唯一的，即期望平均收益w有一个单一的全局最大值。
期望平均收益可以写成
（11）在哪里
（12）表示当I个玩家选择并选择时n个玩家的总收益(以及我们设置的位置)。我们收集总收益序列中的元素。当i个玩家选择时n个玩家的平均收益是。
对(11)中期望平均收益的表达式求导并化简，得到
（13）在哪里
（14)是总收益的第一个远期差。术语(14)可以解释为所有玩家获得的总收益，这是由焦点玩家将其行动从k个合作玩家转向其余合作玩家所导致的。为了以后参考，我们将这些社会收益(14)收集到社会收益序列中，并称之为社会收益函数。
候选社会最优对应于两种纯策略中的一种(即，或)或满足一阶条件的完全混合策略。具体来说，社会最优必须是s的局部最大值。这一观察结果导致了s的符号模式与社会最优性之间的联系(见“附录C”的引理4)，这与我们上面讨论的g的符号模式与进化稳定性之间的联系相似。特别地，一个完全混合的社会最优是s的根。由于社会收益函数(13)是一个度的多项式，寻找完全混合的社会最优涉及到求解一个多项式的度方程。
私人收益函数和社会收益函数都取决于由收益序列给出的游戏结构。通过将社会收益函数表示为，将这种联系明确地表示出来，这对我们的目的是有用的
(15)在哪里
(16) (17)与
(18)式中，，和。术语(18)可以解释为当k名合作玩家和所有其他合作玩家从一种游戏切换到另一种游戏时，合作玩家累积的收益，因此等于社交收益减去私人收益。我们称这些项为外部增益，脚注3将它们收集到外部增益序列中，称h为外部增益函数。式(15)将社会收益函数表示为私有收益函数与外部收益函数之和。
混合策略x中-参与人(5)和-参与人(6)的期望收益是Bernstein形式的多项式，其系数分别由收益序列和给出，即-参与人的期望收益，(p. 6)。()，可以理解为收益序列的伯恩斯坦变换(见图1)。． 同样，私有增益函数(7)、社会增益函数(13)和外部增益函数(17)都是伯恩斯坦变换，它们被赋予了许多保持形状的性质，这些性质将系数序列的符号模式和各自多项式的符号模式联系在一起[24,57]，包括保持初始和最终符号、保持正性和减少变化的性质(见“附录D”)。这些性质意味着私有增益序列的符号模式和私有增益函数g之间，以及社会增益序列和社会增益函数s之间的紧密联系(当应用于序列和多项式时，请参阅附录a和B的符号术语)。通过“附录C”中的引理3和引理4，这种联系一方面暗示了私人收益序列的符号模式与博弈的ESS结构之间的联系，另一方面也暗示了社会收益序列的符号模式与社会最优位置之间的联系。在许多有趣的情况下，这允许我们将游戏识别为合作困境，并在不需要更复杂的分析的情况下提取关于ESS和社会最优的关键信息(例如，不需要明确地解决多项式方程，以验证完全混合的策略是ESS还是社会最优)。
在介绍了我们的方法之后，我们开始了对多人合作困境的研究。我们首先注意并记录合作行为的两个简单后果。首先，由于如果行动是合作的，则相互比相互更受欢迎，因此可以得出社会最优大于零，即需要某种合作来最大化预期平均收益:
假设互性优于全称，即条件(2)成立。然后,。
见“附录e”。
其次，如果是合作的，那么它会引起正的个体外部性，这反过来意味着外部收益序列必须是正的。这意味着(通过保留Bernstein变换的正性，参见引理5.5)外部增益函数(17)是正的。因此，我们有:
假设这导致了正面的个体外部性，即条件(3)成立(至少有一个不等式是严格的)。然后,保存;即，对所有人都成立不等式对所有人都严格。
引理2暗示(通过恒等式(15)，因此，)私人收益函数严格小于所有人的社会收益函数。使用“附录C”中的引理1和2以及引理3，我们可以证明多人合作困境的以下表征结果。
假设这个行为是合作的。那么，以下三种表述是等价的:
这个游戏是一个合作困境。
存在这样的。
并非游戏中唯一的ESS。
见“附录e”。
命题1为具有合作行为的博弈成为合作困境提供了两个可选的充分必要条件。条件(ii)是私有增益函数至少在其定义域的某个值为负。换句话说，玩家必须有事前动机(根据他们的个人预期收益)来选择至少一些由合作玩家使用的对称混合策略。条件(iii)是完全合作()不是唯一的ESS。这包含两种可能性。首先，它不是ESS(如囚徒困境或雪堆游戏)。第二种情况是，这是一种ESS，但至少存在一种替代ESS(如猎鹿游戏)。我们注意到，如果合作意味着充分合作是社会最优()，那么命题1陈述中条件(i)和(iii)之间的等价性将是微不足道的。然而，事实并非如此。例如，可以通过囚徒困境和雪堆博弈的直接计算来验证，当且仅当满足时，完全合作是这些博弈的社会最优。第6.1节提供了进一步的说明。
假设行动是合作性的(这很容易检验)，命题1中的条件(ii)允许我们通过检查私人收益函数的符号模式来识别合作困境。虽然，一般来说，这种检查比显式地识别ESS和社会最优并比较它们(如定义2所要求的)更简单，但它仍然是一项需要数值处理而不是分析处理的重要任务。幸运的是，在许多感兴趣的情况下，直接检查私有收益序列的符号模式可能足以识别合作困境。双人游戏就是一个例子。的确，我们做到了:
(两人合作困境)假设这个和那个行动是合作的。那么，当且仅当不是正的，即当且仅当，这个游戏就是一个社交困境(因此也是一个合作困境)
(19)更进一步，当且仅当博弈是囚徒困境、雪漂博弈或如表1所定义的猎鹿博弈时，条件(19)成立。
见“附录e”。
条件(19)表示两者之一成立，即不弱占主导地位。对于二人博弈，这种优势关系的缺乏是必要和充分的，以使参与者有严格的事前激励来选择，而不是他们的合作参与者的某种混合策略，确保满足命题1中的条件(ii)。表2记录了三种二人合作困境下收益序列的符号模式。
有人可能希望用
（20）产生了一个与提案2对应的多人游戏。条件(20)再次排除了行动弱支配的可能性，这在之前被认为是合作困境定义的一部分。例如，条件(20)是Płatkowski[61，公理3]提出的“多人社会困境”定义的一部分。
很容易验证条件(20)确实是一个博弈成为合作困境的必要条件(在我们的定义意义上):如果条件(20)失败，那么对所有人都成立，因此命题1中的条件(ii)暗示该博弈不是合作困境。因此，我们有:
假设这个行为是合作的。如果博弈是合作困境，则条件(20)成立。
见“附录e”。
然而，由于和(即条件(20))之间不存在弱优势关系，并不排除社会最优与唯一ESS相吻合的可能性。因此，从进化的角度来看，条件(20)不足以暗示集体利益与个人利益引发的行为之间存在分歧。潜在的原因是，尽管存在一些事后的背叛激励(条件(20))，但可能没有事前的背叛激励(即，增益函数g对所有x都保持正)。从技术上讲，这是由于Bernstein变换的变差递减特性(参见引理5.5)以及增益函数的符号变化次数比增益序列少的可能性。下面的例子说明了这种可能性(参见图2)。
例1中的三人游戏。左图:行动是合作性的(定义1)，因为(i)和(ii)收益序列和收益序列都是递增的。此外，如果只有一个合作玩家合作，那么个人就会有事后背叛的动机。右图:这个游戏不是一个合作困境(定义3)，因为唯一的ESS与社会最优一致，即最大化预期平均收益w(x)。由于私有收益函数g(x)在单位区间内从不为负，因此个体没有事前的背叛动机
考虑具有收益序列和(图2)的三人博弈。根据定义1，行动是合作的。此外，当其中一个合作伙伴合作时，玩家有事后背叛的动机()。然而，根据定义3，该游戏并不构成合作困境，因为其独特的ESS与由。这是因为私人收益函数(简化为)在其域内是正的，所以玩家没有事前背叛的动机。根据命题1，根据我们的定义，博弈不是合作困境。
虽然(19)到(20)的概化不足以使具有合作行为的多人博弈成为合作困境，但(19)的另一种概化产生了这样一个充分条件。具体来说，考虑or所满足的条件，其中for等于(19)。由于Bernstein变换的保号性质，等于，而等于，因此根据命题1，当这两个条件之一成立时，博弈是合作困境。更一般地说，它的初始符号或最终符号为负就足以确保当足够小或足够大时，不等式成立。因此，我们得到:
假设这个行为是合作的。如果初始或最终的符号为负，那么这个游戏就是一个合作困境。
见“附录e”。
根据推论2，多人游戏中最简单的合作困境是那些负的(确保初始和最终符号都是负的)或只有一个符号变化的(确保初始符号或最终符号都是负的)。这些博弈是三种二人合作困境到多人困境的自然概括(参见表2，囚徒困境是负的，而雪堆博弈有一个符号从正变为负，猎鹿博弈有一个符号从负变为正)。因此，我们可以这样定义:
(多人囚徒困境、雪堆游戏和猎鹿游戏)让行动具有合作性和互动性。
这个游戏是一个多人囚徒困境，如果是负的。
这是一款多人雪堆游戏，只有一个从正到负的符号变化。
这是一款多人猎鹿游戏，只有一个符号从负变为正。
定义4将囚徒困境、雪堆游戏和猎鹿游戏的定义扩展到任意数量的玩家之间的互动。这些定义与之前的这类多人游戏的定义相关(但不等同)(有关讨论，请参阅“附录F”)。
为了证明定义4中定义的多人合作困境与其二人合作困境相似，我们给出了以下结果，该结果表明这些博弈的ESS结构与相应的二人合作困境相同。脚注4
((多人)囚徒困境、雪堆游戏和猎鹿的ESS结构)
(多人)囚徒困境只有一个ESS，即。
(多人)雪堆游戏只有一个ESS。
(多人)猎鹿游戏有两个ESS，即和。
见“附录e”。
我们已经给出了合作困境的定义，以及多人游戏符合这种困境的条件。在本节中，我们将回顾几类集体行动游戏，并展示它们如何在合适的参数值下表现合作困境。此外，我们还表明，许多集体行动游戏属于定义4中定义的多人囚徒困境、雪堆游戏和猎鹿游戏的类别，并以命题3为特征。
具有价值序列和选择“退出”的收益的六人拥挤博弈。左图:收益序列和，收益函数和，预期平均收益w(x)。右图:私有、社会和外部增益序列，和，以及相应的私有、社会和外部增益函数g(x)、s(x)和h(x)。(根据定义1)(i)，动作是合作性的，(ii)是恒定的，并且是递增的。由于该游戏具有从正到负的单一符号变化，因此该游戏被归类为多人雪堆游戏(定义4.2)，具有完全混合的ESS(命题3.2)。社会最优具有比唯一ESS更高的合作概率，即:
作为集体行动游戏的第一个例子，考虑Anderson和enger讨论的对其他参与者具有负外部性的参与游戏(或拥堵游戏)[1，第3节]。这类博弈包括Dindo和Tuinstra[19]的“负反馈”阈值参与博弈和El Farol条问题[3];它还提供了著名的“公地悲剧”的简单形式化[31]。玩(参与或选择“参与”)是指参加一项活动，如进入市场、开发公共资源、开车或去酒吧(如图3所示)。Playing(不参加或待在外面)指不参加这样的活动。选择“退出”的收益是一个常数(Anderson和enders[1]将其归一化为零)。选择“参与”的收益是参与人总数的递减函数。因此，参与者对其他参与者产生负外部性。收益序列可以写成
(21a) (21b)其中for表示该活动对参与者(即共同参与者)的价值。假设，序列是递减的，所以如果所有人都“出局”，那么“参与”的收益大于“出局”的收益，而“出局”的收益又大于其他人都“参与”时“参与”的收益。因此，它是恒定的，并在增加，因此，这导致了积极的个人外部性。此外，既然坚持，行动(待在外面)是合作的。
私人收益是由
（22）因此，私有增益序列是递减的，并且具有符号模式，即从正到负正好改变一次符号。换句话说，玩家有参与活动的动机(进入市场，开发公共资源，开车，去酒吧)，只要没有太多其他人做出同样的决定。因为不参与(游戏)是一种合作，并且只有一个从积极到消极的符号变化，所以拥堵游戏是雪堆游戏的特殊例子(定义4.2)。根据命题3.2，拥堵游戏都具有完全混合的独特ESS特征。
六人博弈具有价值序列协同效应和选择“退出”的收益。左图:收益序列和，收益函数和，预期平均收益w(x)。右图:私有、社会和外部增益序列，和，以及相应的私有、社会和外部增益函数g(x)、s(x)和h(x)。(根据定义1)(i)，动作是合作性的，(ii)是恒定的，并且是递增的。因为只有一个从负到正的符号变化，所以游戏被归类为多人猎鹿(定义4.3)。根据提案3.3，游戏有两个ESSs:和。虽然符合社会最优，但在社会效率低下的ESS中，合作不足
作为集体行动游戏的第二个例子，考虑Anderson和enger讨论的对其他参与者具有正外部性的参与性游戏[1，第4节]。这些博弈与5.1节中讨论的博弈相对应，包括Peña等人[59]和De Jaegher[16]研究的“俱乐部物品”，以及Luo等人[38]研究的“n人猎鹿博弈”。在这种情况下，让我们给参与或选择“参与”的决定和不参与或“不参与”的决定贴上标签。至于拥堵游戏，待在“外面”的收益是一个常数(Anderson和enders[1]将其归一化为零)。选择“加入”的收益会随着其他玩家数量的增加而增加。因此，参与者对其他参与者产生正外部性(见图4)。收益序列和由
(23a) (23b)其中for是给定参与者(包括自己)的总数I的情况下，该活动对参与者(-玩家)的价值。假设，这个序列是递增的，所以如果所有人都“出局”，那么“参与”的收益就比“出局”的收益要小，而“出局”的收益又比所有人都“参与”的收益要小。由此可见，这是不断增加的，并且是恒定的，因此，这导致了积极的个人外部性。此外，既然也持有，行动(选择“进入”)是合作的。
私人收益是由
(24)私有增益序列具有符号模式，即从负到正的单符号变化。在这种情况下，只要有足够多的其他人也决定这么做，玩家就有参与活动的动机。因为参与(游戏)是合作的，并且具有从消极到积极的单一符号变化，所以具有参与协同作用的游戏是猎鹿的特殊例子(定义4.3)。根据命题3.3，具有参与性协同效应的游戏都具有两个ESSs特征:和。
具有利益序列和成本序列的六人公共物品博弈，即具有和的“团队合作困境”。左图:收益序列和，收益函数和，预期平均收益w(x)。右图:私有、社会和外部增益序列，和，以及相应的私有、社会和外部增益函数g(x)、s(x)和h(x)。行动是合作性的(根据定义1)(i)和(ii)两者都有，并且都在增加。有两个符号变化:第一个由负变为正，第二个由正变为负。游戏中有两种ESS:一种是完全混合的ESS。这款游戏还拥有独特的混合社交优化模式。请注意，这是成立的，即，在两个ess中都没有提供足够的合作
作为集体行动游戏的第三个也是最后一个例子，考虑公共物品游戏，其中玩游戏意味着自愿为公共物品做出贡献，而玩游戏意味着逃避[2,15,16,20,28,32,39,53,57,63,69,73,74,81]。贡献需要每个玩家付出代价，而所有玩家(包括-玩家和-玩家)都享有收益，其中表示玩家中-玩家的总数。收益序列，然后由
(25) (b) 25日我们在成本序列中收集成本，在收益序列中收集收益。我们假设这是增加的(因此，参与者的数量越多，所提供的公共产品的价值就越大)，这是不减少的(因此，增加参与者的数量永远不会增加与贡献相关的成本)。我们进一步假设，如果每个人都做出贡献，那么公共物品的价值与没有人做出贡献时的价值之差大于每个人都做出贡献时的个人成本。示例见图1和图5。
由于收益在增加，而成本没有减少，因此收益序列在增加:其他参与者对公共利益的贡献越多，每个参与者的境况就越好。由此可见，行动会产生积极的个人外部性。因为，另外，持有，然后持有，行动是合作的。
私人收益是由
（26）私人收益序列的符号模式取决于利益和成本序列的特定形状，特别是取决于贡献的边际效益如何随其他贡献者的数量k的变化而变化，以及与成本的比较。具体的例子如下。
具有凹收益和固定成本的公共产品博弈
考虑一个公共产品博弈，如Gradstein和Nitzan[28]以及Motro[45]所假设的那样，其中凹(即负)是一个价值常数(即)。然后是递减的。如果成本很高()，则为负，并且游戏处于囚徒困境(定义4.1)。如果成本低()，则是正的，根据推论1，该博弈不是合作困境。如果成本是中间值(例如，持有)，只有一个从正到负的符号变化，那么这个博弈就是一个雪堆博弈(定义4.2)。在这种情况下，如果贡献者相对较少，玩家就会有为公共利益做出贡献的个人动机，如果贡献者相对较多，他们就会有逃避的动机。
具有凸效益的公共产品博弈
作为公共产品博弈的第二个子类，假设它是凸的(即正的)。然后，不需要对成本序列作进一步的假设，是递增的。如果成本很高()，则为负，并且游戏处于囚徒困境(定义4.1)。如果成本低()，则是正的，并且游戏不会构成合作困境(推论1)。如果成本是中间的(即，持有)，则有一个从负到正的单一符号变化，并且游戏是一个猎鹿(定义4.3)。
具有固定成本和收益的公共产品博弈
作为公共产品游戏的第三个子类，假设它首先是凸的，然后是凹的(即具有从正到负的单一符号变化)，并且是价值常数(即)。例子包括Pacheco等人[53]和Archetti和Scheuring[2]研究的模型，其中利益序列随着贡献者的数量先加速后减速。在这种情况下，私有增益序列是单峰的，即先增加后减少。然后，根据贡献成本的关系，我们有以下几种情况。如果成本很高()，则为负，并且游戏处于囚徒困境(定义4.1)。如果成本低()，则为正数，且博弈不构成合作困境(推论1)。如果成本为中间值(即持有)，则符号模式取决于和相对于的相对位置，如下所示。如果和，则只有一个符号由正变为负，则该游戏为雪堆游戏(定义4.2)。如果和，那么只有一个符号从负变为正，游戏就是猎鹿(定义4.3)。最后，如果，则是的符号模式，即私有增益序列先为负，后为正，再为负。这种情况下，有两个符号变化(第一个从负到正，第二次从正到负)不同于之前的例子，游戏不能归类为囚徒困境，雪堆或猎鹿。在这里，只有当足够多(但不是太多)的其他玩家也做出贡献时，玩家才有动力为公共利益做出贡献。尽管如此，从推论2的应用来看，这个游戏是一个合作困境。此外，博弈的ESS结构也可以使用Bernstein变换来表征[57，结果4和5]。如果足够低，游戏就有两个ess:和;如果游戏足够大，它便拥有独特的ESS。
具有固定成本的门槛公共产品博弈
具有sigmoid收益和固定成本的公共物品博弈的一个值得注意的例子是具有固定成本和无退款的门槛公共物品博弈[5,50,54,74]。在这个博弈中，当且仅当贡献者数量达到外生阈值时，贡献者支付的不可退还成本等于公共产品，在这种情况下，所有参与者从提供公共产品中获得相同的收益(标准化为1)。因此，成本序列为，收益序列为
(27)其中表示艾弗森括号，即，如果X为真，如果X为假。如果(只需要一个贡献者)，这个博弈就被称为“志愿者困境”[18]。在这种情况下，是凹的，成立，该博弈是第5节中具有凹收益和固定中间成本的公共物品博弈的一个例子。特别的是，符号模式是和游戏是一个雪堆游戏。或者，如果(所有贡献者都是必需的)，则是凸的，并且两者都成立，并且游戏是具有凸收益和中间成本的公共物品游戏的一个例子，如第5节所示。特别是，符号模式是和猎鹿游戏。最后，如果成立(需要多于一个贡献者，但少于所有贡献者)，则该游戏是第5节中所示的具有s型收益和固定中间成本的公共物品游戏的实例。在这种情况下，博弈有时被称为“团队合作困境”[46,50]:私人收益由for和给出，符号模式为is。在这里，当且仅当其他参与者也做出贡献时，个人才有动力为公共利益做出贡献，因为只有在这种情况下，他们的贡献才是关键的。
在本节中，我们讨论了两个关于合作困境中社会最优合作概率的问题。首先，我们考察了社会最优是否具有充分合作特征()。虽然我们为充分合作的社会最优性提供了一个简单的条件，但我们的分析也揭示了并非所有的合作困境都满足。这一观察结果提出了我们的第二个问题，即合作困境是否可能存在以过度提供合作为特征的ESS。我们证明这是不可能的。
我们说充分合作是社会最优的如果它是社会最优的。从直觉上看，如果我们考虑的是哪种纯策略，将单个玩家的行为转换为从不减少甚至有时会增加所有玩家的总收益，那么完全合作应该是社会最优的。这种直觉是正确的。形式上，要求我们在3.3节中定义的社会收益序列是正的，即
(28)至少有一个严格不等式成立，满足充分合作的最优性。因此，我们有:
假设是正的。然后，社会最优满足。
见“附录g”。
为了说明提案4的应用，考虑5.3节中提出的公共物品博弈。对于这些博弈，总收益是通过将(25)代入(12)并简化得到的。它们是由
（29）在这里，我们通过n个参与者的总收益()和总成本()之差来设定，其中有1个参与者参与了集体行动。因此，社会收益令人满意
(30)由于效益序列是递增的，所以为正的一个充分条件是
(31)即，捐助国承担的总费用不随捐助国数目的增加而增加。如果条件(31)成立，从命题4可以得出充分合作是社会最优的。例如，如果存在“成本分担”[81]，即对于某个常数，如果成本序列为。
作为命题4的对应，我们还可以提供一个简单的充分条件，暗示充分合作不是社会最优的:
如果成立，则社会最优满足。
见“附录g”。
命题5陈述中的条件适用于许多合作困境。例如，在双人游戏中，我们有，所以在囚徒困境和雪堆游戏中，完全合作不是社会最优的。更有趣的是，命题5直接暗示，志愿者困境和5.3节讨论的团队合作困境都是多人合作困境的例子，在这些困境中，充分合作不是社会最优的。事实上，对于这样的游戏，(如果参与者之间的合作者数量从n增加到n，则不会产生额外的集体利益)和所有(成本固定)都成立。将这些值代入式(30)中，我们得到，因此命题5适用。参见图1、图3和图5所示的示例。
我们将其定义为合作行为的一个决定性特征，即它会引起积极的个体外部性(定义1中的条件(ii))。由于这些积极外部性并没有内化到决定进化稳定性的私人收益中，直觉表明，无论何时行动是合作的，ESS的合作概率都不可能高于社会最优合作概率。下面的结果表明这个推理是正确的。
假设行动是合作的。让我们成为ESS和社会最优。然后，持有除非。
见“附录g”。
请注意，命题6不仅排除了ESS过度提供合作的可能性，而且还确定了ESS与社会最优一致的唯一情况是，内部合作激励非常强烈，以至于完全合作是ESS。因为社会困境的定义不包括游戏有一个独特的ESS的可能性与社会最优,因此,在任何合作困境(i)所有合作underprovision ESS功能,(如双人的囚徒困境和雪堆博弈)或(ii)存在一个ESS,即伴随着社会最优,但所有其他ESS(至少一个)存在功能underprovision合作(如双人的猎鹿)。
我们发现值得注意和令人惊讶的是(与本文的所有其他结果相比)，如果我们采用的合作行为的定义通过将定义1中的条件(ii)替换为行为诱导正总外部性的较弱要求而变得更宽松，命题6就会失败，即，将一个参与者的行为从切换为从不减少，但有时会增加合作参与者的收益总和。“附录H”对此进行了扩展。
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符号函数一书深入浅出地解析了数学中重要的概念，为理解与运用提供了有力工具。