摘要

本文研究了具有超线性右侧的变指数双相位算子驱动的拟线性椭圆方程。在非常一般的非线性假设下，我们证明了这类问题的多重性结果，从而证明了正解、负解和变号解的存在性。变换符号的解是通过Nehari流形方法得到的，此外，我们还可以给出其节点域的信息。

1 介绍

设，是一个有Lipschitz边界的有界定义域。本文研究了具有齐次Dirichlet边界条件的变指数双相问题

(1.1)

我们假设

1. (H1)

   对于所有函数，且满足单调性条件，即存在一个向量，使得对于所有函数

   是单调的。

此外，对于第二个变量，非线性在接近无穷大时为-超线性，在接近零时为-超线性，见(H)中的精确条件。

(1.1)中的微分算子是所谓的变指数双相算子，由式给出

一个合适的Musielak-Orlicz Sobolev空间。该算子的特殊情况出现在(加权-拉普拉斯算子)或(-拉普拉斯微分算子)时，这在以前的文献中已经研究过。与变指数双相算子相关的能量泛函由

根据Marcellini最初的命名法(参见他的论文[35,36])，所有的被积函数具有不平衡增长，即:

为了。为了所有。

泛函I最著名的性质是非均匀椭圆性，这取决于我们是否在权函数为零的集合上，也就是说，在集合上。事实上，I的被积函数在任意固定的点x上的q(x)阶梯度和p(x)阶梯度上都表现出椭圆性。所以被积函数H在椭圆行为的两个不同相位之间切换。这就是它被称为双相的原因。

Zhikov[51]是第一个研究泛函的人，其积分根据一个点改变其椭圆度，从而为强各向异性材料提供模型。像上面的I这样的函数，无论是常数指数还是变指数，已经有几个作者研究了局部最小值的正则性。我们参考了Baroni等人[4,5,6]，Colombo和Mingione[11,12]的工作，以及Beck和Mingione [7,8]， De Filippis和Mingione [14]， Hästö和Ok[27]的非一致椭圆变分问题和非自治泛函的最新结果。

上述双相微分算子及其相应的能量泛函出现在物理模型中。例如，在弹性理论中，调制系数决定了由两种不同材料制成的具有不同功率硬化指数的复合材料的几何形状，见Zhikov[53]。但在其他数学应用中，这种泛函也发挥着重要的作用，例如在对偶理论和Lavrentiev gap现象的研究中，参见Papageorgiou等人[40]，Ragusa和Tachikawa[44]和Zhikov[52,53]。

近十年来，许多作者已经给出了双相常指数问题的存在性结果。Colasuonno和Squassina[10]研究了具有Dirichlet边界条件的双相算子的相应特征值问题，证明了相关变分特征值的存在性及其性质。Perera和Squassina[42]利用Morse理论证明了一个解的存在性，他们利用上同局部分裂得到了临界群在零处的估计。Gasiński等人[22]，Liu和Dai [33]， Gasiński和Winkert[25]等人由于缺乏正则性结果，通过Nehari流形处理，得到了包括变号解在内的多重性结果。我们还提到Biagi等人[9]、Farkas-Winkert[20]、fisscella[21]、Gasiński和Winkert[23,24]、Ge和Pucci[26]、Stegliński[45]和Zeng等人[49]的著作。

到目前为止，涉及上述变指数双相算子的结果很少。我们参考了Aberqi等人[1]关于完全流形的存在性结果，Albalawi等人[2]关于()-Laplace型问题的对流问题，bahroui等人[3]关于Baouendi-Grushin型算子的双相问题，Crespo等人[13]关于双相对流问题，Ho和Winkert[30]关于Kirchhoff问题，Kim等人[31]关于凹凸型双相问题，Leonardi和Papageorgiou[32]关于凹凸型问题。Zeng等人[50]研究多值问题，Vetro和Winkert[47]研究非常一般生长条件下的多重性结果，参见其中的参考文献。值得一提的是，Ho和Winkert最近的贡献[29]，他们提供了在某一函数族之间的最优嵌入，以及关于解的有界性的结果。

这项工作的目的是证明问题(1.1)的多重性结果，其中右边项(可能是非线性的)应该有一个()-超线性增长。处理方法受到Gasiński和Winkert[25]关于常指数情况的论文的启发，有趣的是，看看哪些是对可变指数的要求，以便能够推广结果。由于问题(1.1)缺乏正则性结果，基于Lieberman[34]和Pucci and Serrin[43]的正则性结果的多重结果理论中通常使用的几种工具在我们的处理中无法使用。相反，我们将使用山口定理和所谓的Nehari流形，其定义是由Nehari的著作[37,38]推动的。关于这种方法的进一步解释可以在第5节中找到。

我们还指出，我们不需要假设这样的条件

(1.2)

因为在常指数情况下，Gasiński和Papageorgiou [22]， Liu和Dai [33]， Gasiński和Winkert[25]的Nehari流形处理中使用了它。这是由于可以在不假设(1.2)的情况下证明中等价范数的存在性，参见Crespo等人的论文[13，命题2.19]。

本文的结构如下。在第2节中，我们回顾了变量指数空间和与变量指数双相算子兼容的Musielak-Orlicz Sobolev空间的已知性质，以及稍后将使用的其他技术工具。在第3节中，我们利用Ho和Winkert[29，定理4.2]最近的结果，证明了一类比(1.1)更一般的问题的弱解的先验界。在第4节中，我们介绍了右手边f的假设，这些假设将在本文的其余部分中使用，并且我们通过应用于零点截断的泛函的山口定理证明了正弱解和负弱解的存在性。在此之后，在第5节中，我们通过在Nehari流形的修改版本上解决最小化问题并借助定量变形引理，证明了另一个解的存在性，该解原来是改变符号的。最后，在第6节中，我们提供了关于符号更改解决方案的节点域的进一步信息。

2 预赛

在本节中，我们将介绍Musielak-Orlicz空间的主要性质，以及其他相关结果。我们表示具有范数的通常Lebesgue空间和具有范数的通常Lebesgue空间，并分别确定具有范数和的相应Sobolev空间。

首先，给出了变指数Lebesgue和Sobolev空间的相关性质。对于任何我们定义的

我们还引入了空间

设为所有可测函数的集合。我们用变指数勒贝格空间表示，即

谁的模是由

它被赋予了相应的卢森堡规范

这些空间的性质已经在文献中得到了广泛的研究，例如参见Diening-Harjulehto-Hästö-Ržička[16]的书。所赋予的空间是一个可分离的自反巴拿赫空间。r的共轭变量指数是这样定义的

它成立，还有一个更弱的Hölder不等式成立，由

参见Diening-Harjulehto-Hästö-Ržička[16，引理3.2.20]。

进一步，如果且for all，则得到连续嵌入

参见Diening et al.[16，定理3.3.1]

类似地，我们可以定义带有权值的变指数空间:给定任意，，我们定义模

据此，我们定义了空间

赋予了相应的卢森堡规范

相应的变指数Sobolev空间可以类似于通常使用变指数Lebesgue空间的方式来定义。Diening等人[16]在书中也对它们做了很好的介绍。对于变指数Sobolev空间定义为

它配备了规范

在哪里。此外，我们定义

空间和都是可分离的和自反的巴拿赫空间，事实上它们都具有等价的一致凸范数。

范数的庞加莱不等式在空间中成立。看到这一点的一种方法是Fan等人的论文[17，定理1.3]，以及从紧化嵌入中推导poincar不等式的标准方法，例如参见Crespo等人的论文[13，命题2.18 (ii)]。

命题2.1

设，则存在这样的

因此，我们可以定义上的等价范数

或者，假设p上有一个额外的单调性条件，我们也有一个关于模的poincar 不等式，参见Fan等人的论文[18，定理3.3]。

命题2.2

假设存在一个向量，它的性质是对于所有的函数

是单调的(增加或减少)。然后存在一个常数，使得

在哪里。

而且，我们用log-Hölder连续的所有函数的集合来表示，也就是说，存在这样的存在

引入临界Sobolev变量指数，定义为

和

这里是任意的函数，满足和对所有。

对于变指数Sobolev空间，我们也有Sobolev型嵌入。以下内容可以在Crespo等人[13，命题2.1和2.2]或Ho等人[28，命题2.4和2.5]中找到。

命题2.3

让我们都这样吧。然后是连续嵌入

如果，并且对于所有，那么这个嵌入是紧凑的。

命题2.4

假设对一些人来说。让我们这样为所有人。然后是连续嵌入

如果且对于所有，则嵌入是紧凑的。

最后，我们回顾范数与相关模函数之间的关系，结果来自Fan和Zhao的论文[19，定理1.2和1.3]。

命题2.5

让和。

1. (i)

   如果，则当且仅当;

2. (2)

   (职责。当且仅当(例);,);

3. (3)

   如果，那么;

4. (iv)

   如果，那么;

5. (v)

   当且仅当;

6. (vi)

   当且仅当。

现在我们介绍Musielak-Orlicz泛函空间的定义和主要性质，我们将用它来研究我们的方程。关于证明和其他细节，我们参考Crespo等人的论文[13,Section 2]。为此，我们将其定义为

其中我们采用与(H1)相似(但较弱)的假设，即我们假设如下:

1. (H2)

   这样，和所有，和。

已知有一个局部可积的广义n函数，它满足-条件，即:

而且

的模由

对应的Musielak-Orlicz空间为

它被赋予了规范

该模是一致凸的，空间是可分离的自反的，满足模的Radon-Riesz性质。它与模和嵌入有如下关系，参见Crespo等人的论文[13，命题2.13]。

命题2.6

在假设(H2)下，下列陈述成立。

1. (i)

   如果，则当且仅当;

2. (2)

   (职责。当且仅当(例);,);

3. (3)

   如果，那么;

4. (iv)

   如果，那么;

5. (v)

   当且仅当;

6. (vi)

   当且仅当;

7. (七)

   ，

其中为带指数和权值的半成形空间。

通常我们也可以引入相应的Sobolev空间

配备规范

如上所述。这些空间也是可分离的和自反的，它们有一个等价的，一致的凸范数，由模诱导的卢森堡范数给出

它们也满足这个模的Radon-Riesz性质。更进一步，和满足与的相同关系(i)-(vi)。结合变指数Lebesgue空间的嵌入，我们得到以下sobolev型嵌入，参见Crespo等人的论文[13，命题2.16]。

命题2.7

在假设(H2)下，以下嵌入成立。

1. (i)

   ，并为所有人与所有人连续;

2. (2)

   如果，则和连续为与为所有;

3. (3)

   并与众人同心合意;

4. (iv)

   若为某些，则与为连续为与为所有;

5. (v)

   并与众人同心合意;

6. (vi)

   紧凑。

因为让和，因此和。认为和在截断、极大值和极小值下是封闭的，见Crespo et al.[13，命题2.17]的论文。

命题2.8

在假设(H2)下，下列陈述成立。

1. (i)

   如果，那么。

2. (2)

   如果，那么。

另一方面，在我们有一个poincar不等式时，见Crespo et al.[13，命题2.18]的论文。

命题2.9

设(H2)满足。那么就存在一个常数

这允许我们定义等效范数

它也是一致凸的，并且满足Radon-Riesz性质，参见Crespo et al.[13，命题2.19]的论文。

最后，我们讨论了在上述空间中定义的双相算符的性质。设为定义为

和它的对偶空间之间的对偶配对。下一个命题总结了算子的性质，可以在Crespo et al.[13，命题2.18]的论文中找到。

命题2.10

在假设(H2)下，算子A是有界的(也就是说，它将有界集合映射到有界集合)，连续的，严格单调的(因此是极大单调的)，类型是强制的和同胚的。

本文的最后两个组成部分是山口定理和定量变形引理。设X是巴拿赫空间，我们说一个泛函满足Cerami条件或c条件如果对于每一个有界的序列它也满足

那么它包含一个强收敛子序列。更进一步，我们说它满足Cerami条件或c条件，如果它对所有序列都成立，而不是对所有有界序列都成立。下面的山口定理的证明可以在Papageorgiou等人[39，定理5.4.6]的书中找到。

定理2.11

(山口定理)。设X是巴拿赫空间，设。我们假设它满足以下性质:

• 有这样的存在

• 满足c条件，其中

然后，c是的临界值。此外，如果，那么存在这样的。

最后，我们给出了定量变形引理。下面的版本及其证明可以在Willem的书中找到[48,Lemma 2.3]。

引理2.12

(定量变形引理)。设X是一个巴拿赫空间，，，，对于所有它都成立，对于任何。那么就存在这样的

1. (i)

   ，如果或如果，

2. (2)

   对所有人来说，

3. (3)

   是X的同胚，

4. (iv)

   对所有人来说，

5. (v)

   都在减少，

6. (vi)

   对所有和。

3.解的有界性

在本节中，我们将证明广义双相型问题的弱解是有界的。这类比(1.1)一般得多，例如，算子不局限于变指数双相算子，右边可以依赖于梯度，通常称为对流项。我们假设如下。

1. (H3)

   设和为carathimodory函数，即对几乎所有是连续的，对所有是可测量的;还有类似的条件。假设存在常数和与所有这样的

   为了。为了所有人。

我们考虑这个问题

(3.1)

我们说它是(3.1)的弱解如果它满足所有条件

根据Ho和Winkert[29，定理4.2]的最新结果，我们可以证明(3.1)的弱解的有界性。

定理3.1

设假设(H2)和(H3)满足，设为问题(3.1)的弱解。然后，有独立于u的存在，使得

证明

对于这个结果的证明，我们非常密切地遵循[29，定理4.2]的证明，并做了以下更改。

首先,把

而不是这里给出的定义。然后，除了(4.9)之外，第1步的工作原理完全相同，它现在不成立。

后,取

跳过部分，然后使用嵌入

(3.2)

而不是原始证明中的那些。因此，人们可以选择

这就是为什么我们现在不需要(4.9)不像原来的证明。步骤2的其余部分是相同的。步骤3完全相同，没有任何更改。

话3.2

请注意，我们的有界性结果在(H2)中给出的指数的较弱假设下成立，而不是在[29，定理4.2]中需要的更强假设下成立。这是因为在我们的简单设置中，我们可以使用嵌入(3.2)而不是他们在那里使用的更强和更锐利的嵌入(见(4.18)和(4.19))，并且他们需要在指数上提到更强的假设。

4 有限公司正号解

在本节中，我们将通过将山口定理应用于适当截断的能量泛函来证明(1.1)常符号解的存在性。为此，我们在右侧函数f上假设了以下一些假设。我们包括了本节中不会使用的额外假设，但在未来的另一个目的中。

(H):

让和。

(f):

函数f是carathimodory，即对几乎所有函数都是连续的，并且对所有函数都是可测量的。

(f):

存在着和这样的事物

(f):

(f):

(f):

存在这样的和

(f):

对于a，这个函数是递增的，

(f):

对所有人来说…

话4.1

请注意，(f)和(f)比使用f代替f的相应假设弱。还请注意，在(f)中，使用作为指数比使用q(x)作为指数强，并且这比使用作为指数强。(f)也成立类似的命题。

话4.2

(f)的条件总是有明确定义的，因为

注意，这是命题4.8的断言中的插值论证所需要的精确条件。其他使用类似技术的作品通常只要求指数l的上界为(或该作品中运算符的相应增长指数)，但实际上需要更尖锐的上界为。另一方面，可变指数设置的优点是，这个更清晰的上界只需要对整个指数l，而不是对整个指数l，而且，人们可以选择不同的指数l和。

例4.3

考虑函数

在哪里，对所有人来说，他们满意吗

那么f满足上面所有的假设。对于(f)取为全部，用小到足以使和

For (f)， take, For all。这就是假设和的原因。注意，如果取常数，条件等于，在这种情况下是多余的。

从这些假设可以得出以下性质。

引理4.4

让下面的含义成立。

1. (i)

   如果f满足(f)和(f)，则对于a。

2. (2)

   如果满足(f)和(f)，则

3. (3)

   如果f满足(f)和(f)，则存在一些这样的

4. (iv)

   如果f满足(f)和(f)，则对于每一个都存在这样的

5. (v)

   如果f满足(f)和(f)，则对于每一个都存在这样的

6. (vi)

   如果f满足(f)和(f)，则由

   它的导数是

   是强连续的，即in暗示着in和in。

我们不提供证据，因为这些陈述要么是基本的，要么是众所周知的。

我们说它是(1.1)的弱解，如果它完全成立

考虑这些弱解的另一种方法是将它们视为与问题(1.1)相关的能量泛函的临界点，其定义为

为了观察常符号解，我们分别从上面和下面截断函数的零，产生函数

在哪里。注意，根据引理4.4 (i)，这等价于

本节其余部分的计划是验证山口定理(定理2.11)的假设。我们从检查所谓的“山口几何”开始。

命题4.5

设(H1)满足，且f满足(f)、(f)、(f)，则存在这样的常数

证明

这里只会显示的情况。对于其他两种情况，请注意，在第一个不等式中，和和证明的其余部分是相同的。

让。由引理4.4 (iv)推导出带常数的模in的poincar 不等式，见命题2.2，带常数的嵌入，见命题2.7 (iii)，以及命题2.5 (iii)和(iv)

通过选取和，并应用命题2.6 (iii)和(iv)，结果是与

下一个结果直接来自命题4.5。

命题4.6

设(H1)满足，且f满足(f)， (f)与(f)，则存在这样的条件

此外，存在这样的。

命题4.7

设(H1)满足，且f满足(f)、(f)、(f)，则设。此外，如果a. e. in，

证明

首先我们证明。固定，并且，通过引理4.4 (v)我们可以推出(注意，通过嵌入命题2.7 (iii)和引理4.4 (ii))

选择足够大的值使得第二项为负。

对于For的情况，只需要注意if a. e. in, For。

最后，为了应用山口定理，只需要看是否满足必要的紧性条件。

命题4.8

设(H1)满足，且f满足(f)、(f)、(f)、(f)，则泛函满足(C)-条件。

证明

我们写出的证明，情况很相似。

设一个这样的序列

(4.1) (4.2)

在下面，回想一下，根据命题2.8，有人认为。通过(4.2)，对所有和所保存的序列

(4.3)

所以在这种情况下，由于支持和不重叠，如下所示

因此由第2.6 (v)号提案

(4.4)

结论:序列是有界的。

首先，由(4.1)和(4.4)可知

选择(4.3)得到

结合这两个方程得到

现在，在不失一般性的前提下，假设。通过(f)，存在这样的

和前面的方程一起得到什么

(4.5)

由(f)和(f)我们知道，因此存在这样的

插值不等式(例如，参见Papageorgiou和Winkert[41，命题2.3.17])和(4.5)得出

(4.6)

我们可以假设所有人都是这样。在(4.3)中与命题2.6 (iv)和(f)一起再次检验

由式(4.6)和由命题2.7 (i)和经典Sobolev嵌入给出的嵌入，我们得到

因此必须以(f)为界

这就完成了索赔的证明。

根据(4.4)和命题，我们知道它是有界的，因此存在一个子序列，使得

进一步，用(4.3)在k中一致地为上界检验，有

并通过引理4.4 (vi)的强连续性(注意它仍然满足(f)和(f))

总之，我们得到

命题2.10的双相算符A的(S)-性质表明

现在我们终于可以应用山口定理了。

定理4.9

设(H1)满足，且f满足(f)、(f)、(f)、(f)、(f)、(f)，则存在问题(1.1)的非平凡弱解，使得

证明

由于命题4.6、4.7和4.8，我们可以将定理2.11应用于截断的能量泛函。那么我们就知道存在这样的和

这表明。

最后，观察到如果我们用我们得到，根据命题2.6 (i)和命题2.9意味着a. e. in，所以a. e. in。有一个类似的论点，a. e. in。解的有界性由定理3.1导出。

目录

摘要
1 介绍
2 预赛
3.解的有界性
4 有限公司 正号解
5 符号变换解决方案
6 节点域
数据可用性
笔记
参考文献
致谢

作者信息
道德声明



搜索
导航

#####

5 符号变换解决方案

在本节中，我们将在前一节的两个解的基础上证明一个具有非平凡正负部的解的存在性。这将通过使用所谓的Nehari流形来实现，我们的论点基于Gasiński和Winkert[25]的论文思想。有关Nehari流形方法的更广泛描述，请参阅Szulkin和Weth[46]的书中的章节。

首先，注意到的Nehari流形是集合

由于式(1.1)的弱解正是的临界点，所以仍然包含式(1.1)除可能外的所有弱解。还要注意，这个集合可能不是一般的流形(这在目前的工作中并不重要)，但在任何情况下，文献中的通常名称是Nehari流形。

当我们要处理改变符号的解时，我们会对集合更感兴趣

首先，有必要证明一些有趣的性质，这些性质将在以后有用。

命题5.1

设(H1)满足，且f满足(f)， (f)， (f)， (f)， (f)， (f)， (f)，则对于任意存在一个唯一，使得。此外，为了，为了，为了，因此，为了所有人。。

证明

修复和让被定义。从复合函数来看，是在和连续在。由命题4.6和4.7可知存在这样的

(5.1)

很明显。根据这个定理和极值定理，存在这样的

特别地，是的内部的一个局部最大值，因此是的临界点根据链式法则我们得到

因此,。

现在要看的是导数符号的唯一性，它是一个严格的最大值。首先注意(f) for意味着(作为只依赖于t的函数)

方程是。的必要条件。将这个条件乘以1得到

根据上面的注释，被积函数在集合内严格递减，至少在集合外严格递减。因此积分作为t的函数是严格递减的，所以最多只能有一个值满足方程，也就是说，最多只能有一个值满足。因此，最多只能有一个值，这样。另一方面，是不消失的常数符号in和in，根据式(5.1)，它们必须分别为正和负。因此是的严格最大值。

另一个限制我们自己的原因是能量泛函的限制有更好的性质。

命题5.2

设(H1)满足，f满足(f)， (f)， (f)， (f)， (f)， (f)， (f)，则泛函是顺序强制的，也就是说，对于任何序列，它都遵循这个。

证明

让它成为这样一个序列，让所有的。然后，通过命题2.7 (iii)的紧嵌入，存在子序列和这样的子序列

索赔:

假设。根据提案2.6 (iv)和我们所得到的

因此，除以1，得到

这个极限是从(f)推导出来的，因为

还有法图引理和引理4.4 (iii)

但是，根据命题5.1，我们知道，对于所有的人来说，所以上述的限制是矛盾的。这就完成了索赔的证明。

现在修复任何一个。a、提案2.6 (iv)和提案5.1适用于所有人

更进一步，由于F项的强连续性(见引理4.4 (vi))，存在这样的

的选择是任意的，。子序列原理产生整个序列的结果，即。

现在我们将利用在前面的结果中证明的性质来得到能量泛函的最小值的存在性。

命题5.3

设(H1)满足，f满足(f)、(f)、(f)、(f)、(f)，则

证明

根据命题4.6和5.1，它是这样的

因此

同样，对于每一个，它都持有这个观点，它遵循这个观点

因此

命题5.4

设(H1)满足，且f满足(f)， (f)， (f)， (f)， (f)， (f)。

证明

我们将用直接变分法进行。设为最小化序列，即，

在下面，回想一下，我们有第2.8号提案。至于所有的，根据命题5.1，它认为对于所有的，以及根据命题5.2的强制性，可以得出，在。通过命题2.7 (iii)的紧凑嵌入，存在子序列，并且使得

(5.2)

假设。然后，as，我们得到

并且通过f项的强连续性(见引理4.4 (vi))，可以得出。从命题2.6 (v)中我们得到，所以

这是一个矛盾。因此。

根据提案5.1，存在这样的情况。以(5.2)为例，它成立，因此。

最后，观察到它是序弱下半连续的，因为由

是序弱下半连续的(注意每个加数都是凸连续的，因此它们都是序弱下半连续的)

根据引理4.4 (vi)， F项是强连续的。因此，与命题5.1一起

因此,。

最后，命题5.4中得到的最小值也是的临界点，因此它是问题(1.1)的弱解。

命题5.5

设(H1)满足，且f满足(f)、(f)、(f)、(f)、(f)。然后是临界点。

证明

首先，证明的两个关键观察结果。

1. (a)

   根据提案5.1，对于任何

2. (b)

   对于任何一个，

   其中为嵌入常数。因此，if for

   我们有，是这样的。

证明包括利用变形引理(见引理2.12)的反证法。假设。那么就存在这样的

(5.3)

让

再次考虑由(a)定义并给出的映射，它是连续的。因此，存在这样的

(5.4)

让

由(a)可知

利用定量变形引理的符号(引理2.12)，设

由(5.3)可知

所以引理的所有假设都成立了。此外

(5.5)

总之，根据定量变形引理，存在这样的映射

1. (i)

   ，如果或如果，

2. (2)

   对所有人来说，

3. (3)

   是所有的同胚，

4. (iv)

   对所有人来说，

5. (v)

   都在减少，

6. (vi)

   对所有和。

我们现在定义为，它具有以下属性:

1. (七)

   ，

2. (八)

   根据第(ii)、(a)和(5.4)条，

3. (ix)

   对于所有人，根据(i)和(5.5)，

4. (x)

   (iv)和(5.4)。

定义的映射

As是一个泛函，而by (vii)都是连续函数。根据提案5.1，我们有

我们用函数在值上的开有界的布劳尔度表示。通过它的笛卡尔积性质(见Dinca和Mawhin[15，引理7.1.1和定理7.1.1])和间隔上的一维情况(在同一本书[15，命题1.2.3]中)，我们得到

通过(ix)，我们有，所以通过对browwer度的边界值的依赖(再次参见Dinca和Mawhin的书[15，推论1.2.7])，它如下

由browwer度的解性质(在同一本书中[15，推论1.2.5])表明存在这样的，即。

进一步，通过(x)

然后(b)生成

总而言之，我们有(viii)所满足的。这是一个与的矛盾，证明是完整的。

现在我们可以把定理3.1、4.9和命题5.4、5.5结合起来得到下面的结果。

定理5.6

设(H1)满足，且f满足(f)、(f)、(f)、(f)、(f)、(f)、(f)，则问题(1.1)存在非平凡弱解，使得，且有变号。

6 节点域

可以推导出前一节中得到的变号解的进一步性质。我们在这里处理节点域的数量，也就是不改变符号的最大区域的数量。的节点域通常定义为的连通分量，其中的节点集称为u的节点集。然而，由于我们不知道我们的解是否连续，所以这没有帮助。因此，我们提出以下的替代定义。

设and A是with的波里尔子集。我们说A是u if的一个节点域

1. (i)

   A . e. on A或A . e. on A;

2. (2)

   ；

3. (3)

   A是极小的w.r.t (i)和(ii)，即，如果B是的Borelian子集，且B满足(i)和(ii)，则。

话6.1

   

1. (a)

   在前面的定义中假设(ii)的原因是我们想要排除消失集和不存在弱导数的集合。

2. (b)

   通常的定义和这个定义之间的一般关系对于作者来说是未知的。

为了证明变号解的额外性质我们还需要假设(f)

命题6.2

设(H1)被满足，f满足(H)。那么，(根据命题5.5，它也是(1.1)的变号弱解)的任何最小值恰好有两个节点域。

证明

我们确定用和表示的任何代表。和都满足上述定义中的条件(i)和(ii)，因为a. e. in。

还需要证明它们是最小的。用反证法来论证。在不丧失一般性的前提下，假设存在这样的波耳子集，它们是不相交的，具有正测度，并且满足上述定义中的(i)和(ii)。因此，也满足(i)和(ii)因为和a. e. in。因此我们有

和

在哪里。

取and，注意and。当和v的支撑点不相交时，它成立

因此。analogious, and thus。以同样的理由，它还认为。

最后，根据这些性质和条件(f)，我们得到

这是一个矛盾，因为和。证明完成了。

最后，结合定理5.6和命题6.2，我们得到如下结果。

定理6.3

设(H1)满足，且f满足(H)，则存在问题(1.1)的非平凡弱解，使得

下载原文档：https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/s10231-023-01375-2.pdf