我们介绍一般平移作为柯西或狄利克雷问题的解决方案。这种观点允许我们处理例如热扩散半群的平移。利用所给的例子，给出了在一定的\(L^p_\mu \)空间中紧集的Kolmogorov-Riesz刻画。pego型的特征也被导出。最后，通过一些例子，指出了相应的光滑模与k泛函模的等价性。
1938年，德尔萨特提出了广义翻译的概念;参见[13]。他的出发点是用常微分算子的特征函数对泰勒公式的修正:。在y附近的泰勒级数，用符号表示，可以表示为
Where and()。此外，如果，和。
他用下面两个例子说明了他的观点:
，，和
，，;并介绍了下面的翻译运算符:
以上级数的收敛性表明。考察第二个例子可以引出下一个思路链。通过构造表示确保了转换后的函数是下一个柯西问题的解
对广义翻译性质的初步研究源于Delsarte[13]和Levitan;参见，例如，[34]。Braaksma和Snoo在一系列论文中讨论了通过某些双曲柯西问题引入一般翻译的问题;参见[10,11]。对经典正交多项式的乘积公式的检验导致了拉盖尔平移和雅可比平移的定义;参见[18,20,26]。
一般翻译有着广泛的应用。对于所讨论的双曲型问题，算子范数的估计导致了一个极大原理。它给出了一定的卷积结构;参见[6,32]。它还导致p-Christoffel函数的估计;参见[4,5]。在标准情况下的近似理论问题中，由于平滑性、最佳近似或Cesaro方法近似可以用一般平移来检验;参见[27,37]。通过一般平移，也可以推导出紧致性标准;参见[31]。
在这里，我们将平移的概念推广到抛物型和椭圆型的Cauchy或Dirichlet问题的解中。这种方法允许处理，例如，热扩散半群作为平移。虽然下面列出并研究了几个不同的示例，但突出显示了这个示例，因为与旧示例和其他新示例不同，这个示例继承了标准翻译的舒适半群属性，即。抛物线性可以在d维上得出结论，而平移的变量是一维的。我们证明下面介绍的一般翻译具有标准翻译的性质。
本文组织如下。在下一节中，将给出不同类型的翻译示例。在第3节中，引入了“紧性的正则性”的概念，并应用于在某些-空间中推导kolmogorov - riesz型特征。本节的其余部分将专门说明列出的所有翻译都是常规的。在第4节中，用卷积方法推导了紧集的pego型特征。第5节讨论了平移的近似理论方面，即光滑模数和k泛函。
我们将转换操作符定义如下。
让。设L是一个最多二阶的线性偏微分算子，取一个函数或，其中是i上的拉东测度，定义平移作为下一个线性算子:f的平移
u(x, t)的解是
(2.1) (2.2)最后一个等式表示-范数或p范数。
我们所有的例子都可以通过适当的积分变换得到。对应的核函数按照标准表示法用、、等表示。这里，，和，。这是
(2.3)它还使解决方案定义良好。
下面介绍了不同类型的示例。当然，按照同样的思路，还可以构造出更多的例子。这些是我们随后研究的。
几个作者从不同的角度研究了这个半群;参见，例如，[1,28,41]和其中的参考文献。
其中，d维谐振子(Hermite算子)的本征函数
(2.4)是d维埃尔米特函数吗
的时间和地点
(是埃尔米特多项式;cf[42])。相关的热扩散半群由核函数给出
(2.5)因此，for和适当的f，表示为
用，if，， then表示
(2.6)和
参见[41，命题2.5和定理2.6]。
按照前面的思路，函数的平移可以用泊松积分来定义。首先，我们在上半平面上取最简单的椭圆型和抛物型方程，用标准卷积定义平移。
在下一个例子中，是(开)上半平面上一个在实线上极限为f，在无穷远处极限为零的调和函数，参见[30]，这就是这个Dirichlet问题的解
它由下面的泊松积分给出。
让，，或
(2.7)其中表示实线上的连续有界函数。
考虑柯西问题
下一个平移可以用对应的泊松积分来定义。
让()
(2.8)我们继续用一个椭圆的例子，其中泊松积分不是卷积型的。
设第n个超球多项式(，)正交于;参见[42]。An与some展开为。在[35]中，作者检验了f的下一个泊松积分
其中，，。泊松核是
那么，u(x, t)满足微分方程
既然f是连续的，也因为f是连续的，根据定义2.1，我们有下一个例子。如上所述，泊松核的封闭形式意味着下面的定义。
让,
在哪里
(2.9)考虑下一个微分算子
与形式
在哪里
(2.10)(是标准的拉盖尔多项式;参见[42])，我们通过求解抛物型柯西问题来定义平移
[12]。
在哪里
其中为修改后的贝塞尔函数。
第一个众所周知的例子是由sturm - liouville型算子生成的双曲方程给出的;参见[13,34]。考虑操作符
如果
u(x, t)满足下式
(2.11)在拉盖尔和贝塞尔的例子中，分别是，where和or。的特征函数是Laguerre函数和Bessel函数，其中和分别代表经典的Laguerre多项式和整个Bessel函数。几个作者对这些例子进行了研究;参见[4,5,6,26,37]。
在雅可比的情况下，通过同样的论证，和。特征函数是雅可比函数，其中-s是经典雅可比多项式。对于雅可比翻译，参见[3,20]。
在所列情况中，Sturm-Liouville算子的特征函数在相应(加权)空间中形成Schauder基，即如果初始条件为，则Cauchy问题的解可给出为
因此，由双曲方程生成的平移量为:
如果
(2.12)这里，由(2.11)给出，在拉盖尔，贝塞尔和雅可比的情况下。
在一系列论文中指出，贝塞尔、拉盖尔和雅可比平移是有界算子;见上面引用的论文和其中的参考文献。上述方法暗示了由Sturm-Liouville方程导出的平移的对称性;参见[10,11]。
接下来，我们给出一个雅可比函数的例子。再一次，让我们用，现在，让。让
(2.13)，满足微分方程
在哪里
是雅可比函数。因此，翻译的定义如下:参见，例如[21,38,39]和其中的参考文献。
设f是一个合适的偶函数。如果
在哪里
在这一节中，我们导出了某些-空间中的kolmogorov - riesz型紧性判据。原定理见例[2]。该定理对不同的函数空间有几种扩展，并具有标准平移;参见[7,15,24,25,29,40]，贝塞尔和拉盖尔的译本参见[31]。在我们所有的例子中，平移都是不对称的。这意味着紧凑性的一个标准必须被分成两个不同的假设;参见下面的定义3.4。
我们从一些符号开始。令和分别为I和J上的氡量，和。
我们将转换操作符的“范数”定义为
(3.1)我们引入下一个符号:Let, fixed, or;
对于p的平移是正则的，如果它满足下面的性质。
存在一个稠密的集合，使得对于所有的，存在一个，使得对于所有的
(3.2)存在一个稠密集，使得对于所有正数a, R，存在一个，使得如果，那么
(3.3)有一个有限常数c(a, R)所以对于所有的
(3.4)如果和，则(3.2)暗示(3.3)，如果也暗示(3.4)。事实上
这就保证了(3.3)。(3.4)可以用同样的方法得到。
一个集合是等消的，或者我们说它满足性质，如果对所有的集合，存在一个这样的集合
如果一个集合满足以下性质，它的均值是等连续的。
:对于所有正数，存在一个(独立于f)，使得对于所有正数，和(3.2)都满足。
:对于所有，存在一个(独立于f)，使得对于所有和，满足(3.3)。
用上面的符号，设为(3.1)意义上的有界平移，并设它对p，，是正则的。设一个有界集合。那么，K是预紧的当且仅当其均值是等消且等连续的。
首先，我们证明了如果K是有界的、等消的、等连续的，并且平移的性质是T3，那么K是预紧的。
对于任意值，设R为。待定，待定，待定，待定
那么，T3和K的有界性意味着(一致)有界。根据，是等连续的;因此，它是预紧的。
让我成为一个网在哪里。回顾R和a的定义，我们证明了k中的-net
考虑到，如果a足够小，对于所有。让我们随意点。选择，这样
因此，通过三角不等式
另一方面，假设K是预紧的。假设是任意的，在k中是一个-net，它是紧支持连续函数的集合，它是密集的，有，所以对于所有的，有一个i使得。则R对包含的支持是合适的。
由于T是有界的，选择如上，三角不等式和T1保证。
同样，如上所述，选择T2, T3和三角不等式。
对于紧性，假设初始条件(2.2)一致满足就足够了。下一节将展示上述扩展的重要性。
在本节的其余部分，我们将说明上面列出的所有翻译在定义3.1的意义上都是规则的。首先，我们做一些观察，这将是有用的抛物线的情况下，在下面的最后一节。
对于下一个观察，让我们把列出的例子的微分方程写成下一种形式
(3.5)可以用一个积分变换来定义吗
因此，核函数满足上述微分方程。由于核函数至少在x和上是对称的，即
我们有
这些观察结果暗示了下一个引理。
设g是I上的一个光滑函数，并假设它的导数在I的边界处消失得足够快
回想一下，在一维的例子中
分部积分，考虑边界条件，我们有
如果，它更直接。例如，让我们看看热扩散半群。回忆,
设g如上所述。然后
(3.6)考虑(3.1)，我们得到了估计。
例2.3中给出的转换是正则和。
算子被常数C有界性在[41，定理2.6]中得到证明。可以类似地表示。的确，根据Mehler的公式和[28,Remark 2.5]
(3.7)因此
由于
．
让。根据(3.6)，满足(T1)。
我们用类似的论证证明了性质(T2)。考虑到(2.5)对于a的一致收敛性，Hermite函数的递推公式和推导公式表明
因此
让，，
为了证明(T3)，让我们回顾(3.7)。然后，我们有
例2.8中给出的转换是正则和。
对于有界性，参见[18，引理5.2]。
如前所述，在[11]中指出由双曲方程生成的平移必然是对称的。它可以用一个核在其三个变量中对称的积分变换来表示;参见[18]。因此，根据备注3.2，证明性质(T1)就足够了。因为f是偶数，我们可以取。让问题中的密集集，其中
(3.8)cf(2.13)。让，让。鉴于[18，(5.1)]和[18，(4.16)]
在哪里
和
很容易看出
既然如此，假设。回想一下。考虑到它是有界的并且是一个有界测度，我们可以得出(T1)满足。
例2.4和例2.5给出的翻译都是常规的。
证明是基于标准的卷积结构。
首先，让我们观察到核函数是正的，对于所有，这给出了算子范数。
在这两种情况下，让。在调和情况下，通过标准替换，在不同的积分中，我们有
它很小，如果足够接近。
因为g在固定情况下是一致连续的，我们可以选择h，使得它足够小，使得II中的被积函数小，小于。
然后，回想g是紧支持的，并且有一个R，使得的支持在。，
同样，在抛物线情况下，设。然后
回顾g是紧支持的，里面的p模是有界的;因此，如果R足够大，I就很小。g的一致连续性意味着，如果h足够小，则II很小。
转到(3.3)和式(3.4)的证明，我们定义。如果，在抛物线情况下，设，如果，在椭圆情况下，设。然后，同样的替换意味着结果。的确，让我们先看看椭圆的情况
在第一次和第三次积分中，被积函数的有界性，在第二次积分中，g的一致连续性保证了所需的估计。
为了证明(3.4)，让
如果
在抛物线的情况下
同样，在第一个积分中，我们提到了有界性;在第二种情况下g的一致连续性。
让。然后
是(3.4)
例2.6中定义的转换是正则和。
对于有界性，见[35，定理2]。
假设我们的稠密集，是多项式
让。
也就是(T1)(T2)也可以类似地表示。设，Lebesgue在[0,1)和
根据(2.9)，如果，说，那么它也是有界的。因此，如果，
在哪里。
例2.7中定义的转换是规则的和有界的。
对于有界性，参见[12，定理2.2]。
密集是多项式的集合。根据符号(2.10)，它如下:
让。
然后,。因此
也就是说h可以根据f来选择。
同样,自
是小的，根据f有合适的h。
为了证明第三个性质，我们考虑核函数的下一个估计;参见[16，(2.4)]
让
定理3.5的结论是下一个。
让它有界。K是预紧的当且仅当其均值与例2.3、2.4、2.5、2.6、2.7和2.8中定义的T等消且等连续时。
在[36]中，Pego用傅里叶变换表征了的紧集。将这一结果推广到不同空间和阿贝尔群;参见[22,23]和其中的参考文献。用拉普拉斯变换证明了pego型定理[33]。这些结果基于标准翻译。Pego定理在贝塞尔和拉盖尔平移和变换中的推广在[31]中给出。这类定理的主要组成部分是平移、生成的卷积和相应的积分变换。
具有一般平移的卷积结构的研究可以追溯到70年代，它是一个广泛研究的主题;Jacobi，[26]和[32]参见[6,9,18,19,20]。这些与标准卷积相似的一般卷积定义如下。对于f和g，适当的函数
所列论文中的所有卷积都是基于与双曲方程相关的对称平移。这种对称性确保了所讨论的卷积的代数结构，因为平移核在其三个变量中的对称性意味着卷积的交换性和结合性;请参阅上面的参考资料。在抛物型和椭圆型情况下，平移的核只在两个变量中对称;因此，结合律失效。
为了证明pego型定理，卷积、积分变换和平移的下一个关系是必要的
和
其中是积分变换，是一个合适的函数。平移对于积分变换来说是正则的如果它具有上面的性质。
在例2.4和例2.5中可以给出紧凑性的pego型表征。
在椭圆情况下，刻画集合的紧性并考虑余弦变换;在抛物线的情况下，集合在中对应的变换是标准傅里叶变换。
转换对归一化如下:
分别是余弦和傅里叶变换。首先，导出翻译和转换之间的操作。假设f在Schwartz类中，在椭圆的情况下，我们假设它是偶数
参见[8,1.2(13)]。通过类似的计算，假设
在抛物线的情况下，我们有
另一方面
(4.1)众所周知
让()。表示。有了这个符号，我们就有了下一个pego型定理。
设一个有界集合。
让我们考虑例2.4和2.5。
假设K满足。然后，满足和。
另一方面，如果K满足，则满足。
设或，和f如上
鉴于，第二项很小。因为，是一致连续的。因此，考虑K是有界的，对于密集集一致地满足，对于
在u中哪里是有界的，如果
在这两种情况下。因此
考虑到这个，这是很小的
因为区间是有界的，所以可以选择h，使得第三个因子很小，因此，如上所述，满足。
为了证明相反的方向，我们在余弦变换情况下使用下面的卷积，在傅里叶变换情况下使用标准的卷积。对于余弦变换，假设f g是偶数
假设K满足。令或，，。选择足够大的R
因此，暗示。
下一个推论意味着例2.4和例2.5意义上的等连续性从这个角度来看与标准的等连续性是等价的。
分别是有界集合和K的傅里叶变换或余弦变换。那么，K是预紧的当且仅当K和分别在例2.5和例2.4意义上的均值是等连续的。
在Laguerre和Bessel情况下，pego型定理在[31]中得到了证明。下面，我们用雅可比变换证明一个类似的定理。由于原空间和对偶空间的平移不同，这种情况比贝塞尔情况更为复杂。
雅可比变换的定义如下;参见[17，提案3]。回顾测量(见(2.13)和(3.8))，让和
积分在哪里收敛
是映上的线性保范映射。逆变换由
积分收敛于。
由于J映射到，参见[18，(3.2)]，Riesz-Thorin定理保证J映射到连续，其中。
由于雅可比变换的值域与其定义域不同，引入对偶平移是必要的，参见[19]。它由下一个公式给出
(4.2)对偶核在哪里
参见[19，(4.14)]。核函数的三个变量是对称的。此外
参见[19，定理4.4和(4.17)]。这以标准的方式保证了
(4.3)随后，我们需要下一个属性(参见[21，第2节])。
让。然后
(4.4)和
(4.5)通过[18，(4.2)]
因此
其中，根据f的假设，可以应用富比尼定理，最后一个积分是收敛的。它证明(4.4)。
同样，鉴于[19，(4.16)]
这意味着
有了上面的注释，这就保证了(4.5)。
在陈述下一个定理之前，我们先介绍相应的卷积。对于合适的函数
和
进一步地，卷积是可交换的和可结合的;参见[18，(5.3)，(5.4)]。
设一个有界集合。让。
让我们考虑例2.8。
如果K满足，则满足和。
如果K满足，则满足。
让。鉴于(4.5)
根据[17，定理2，(ib)]，如果
因此，既然，，所以满足。
重复标准参数，对于任意函数，取一个函数，这样，，，参见[19，引理4.2]。当趋于无穷时，a趋于零，选择足够大的R。然后
众所周知，标准平移产生的平滑模与Peetre的k泛函是等价的;参见[14，第171页]。这一性质扩展到贝塞尔平移;参见[37]。下面，我们为热扩散半群导出了相同的等价，其中半群的性质暗示了与标准情况非常相似的参数，例如例2.5，其中相应的积分变换被证明是正确的工具。
回顾式(3.5)的符号，我们可以定义由式生成的Sobolev空间如下:
则对应的k泛函为
一般平移产生的平滑模数定义如下:
让
让。平滑度的p模为
在哪里。对于标准和热扩散平移半群，变成。
存在与f无关的正常数，例如例2.3和例2.5
，，。
在抛物线方程中，在贝塞尔方程中;cf。[37]。
通过标准论证
鉴于(3.6)和备注5.2
在这两种情况下，第二次估计需要不同的方法。
首先，我们处理热半群。让我们引入下一个符号
(5.2)因此，根据(2.6)
(5.3)考虑算子范数，(5.2)和式(5.3)。闵可夫斯基不等式
的定义，如上所述
为了证明例2.5中的第二个不等式，我们再次应用积分变换法。根据(5.1)及(4.1)
让和。让我们定义一下
这样。让并定义。让
休息一下就够了。定义
让。然后，我们有
让
然后
自
我们有
(5.4)我们用类似的方法来估计的第一项
让
我们分解
这是
让和
然后
如果N足够大，我们有
(5.5)把注意力转向第一项，我们有
因为是有界的
(5.6)因此，根据(5.5)和式(5.6)
回顾式(5.4)，证明了第二个不等式。
这个积分变换方法是有效的，因为考虑到两个表达式和，我们有
在零附近。这个性质是关于积分变换的平移的第二个规律性性质。这是一种情况，例如在贝塞尔情况中;参见[37]。例如，例2.4不具有关于余弦变换的第二个正则性。
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