我们考虑一个边界为\(C^{2}\)的有界平衡严格凸域\(\Omega \子集{\mathbb {C}}^{d}\)。那么在每个切片上存在一个Hausdorff维数为1的峰集E。特别地，E的最大可能豪斯多夫维数等于(2d-1)
设一个有界的、凸的、平衡的、有边界的域。每个设置切片，其中是单位光盘。
如果我们有一个紧集并且在K上我们说K是K的一个峰值集f是K的一个峰值函数我们可以把这个概念推广到一个峰值插值集
如果对于一个给定的连续函数g在K上存在这样的条件那么我们说K是一个峰值插值集。
关于峰值集的重要信息来源可以在以下著作中找到:[4,9,11,13]。
对单元圆盘上的峰集进行了广泛的研究。该领域最重要的结果是Fatou-Rudin-Carleson定理(参见[1,2,8,15]和[17,p 205])，该定理指出，峰值和峰值插值集的类别重合，并且恰好是Lebesgue测度零的子集。
然而，正如人们所预料的那样，情况并不那么明显。在一些复杂变量中存在峰集奇异行为的非平凡例子。
常规情况下，Rudin在[14]中描述。
在拓扑上，峰集在严格伪凸域上是很小的。峰值集的实际拓扑维数不大于(见[16])。特别地，峰值集必须有一个空的内部。但从测量理论的角度来看，峰值集不再需要那么小。Tumanov[18]在单位球上构造了一个Hausdorff维数为2.5的峰集。Stensönes Henriksen证明[5]，每一个边界为的严格伪凸域都有一个具有Hausdorff维数的峰集。此外，如果是一个有边界的圆形、有界、严格凸域，则可以构造一个与所有圆相交于中心为零的峰集(见[8])。这些例子表明，严格伪凸域的所有峰集的完全刻画问题远非简单。
现在已知每个峰集K也是一个峰插值集，这意味着任何紧化也是一个峰集(见[13,p. 206])。此外，欧几里得空间的任何一个Hausdorff维数的子集都包含一个Hausdorff维数的紧化子集。(见[3，定理2.10.47])。因此，在[5,8,18]中提到的峰值集包含任何低Hausdorff维的峰值集。然而，如果我们选择一个紧集，那么通常不可能在K内构造一个像[5,8,18]这样的峰值集。
本文给出了一个峰值集的例子(见定理3.1)，其豪斯多夫维数对所有峰集都等于1。事实上，我们的峰值集在上具有最大可能的豪斯多夫维数(见备注3.2)。
我们的灵感来源于Henriksen的结果[5]。Henriksen的方法是基于问题的，需要考虑域的边界。我们的方法不需要使用与问题有关的理论。我们考虑只有边界的域。注意，我们的峰值集精确地穿过所有圆心为0的圆，并且在每个切片上具有最大可能的Hausdorff维数。即使在单位球的情况下，我们的结果也是新的。有些概括是可能的(见备注3.3)。
假设为的峰值集，则集合K具有如下性质(见[13,19]):
存在使得(K是零集)
如果是紧的，那么T是一个峰值集。
．
如果g是K上的一个非零连续函数，则存在这样的函数，在K上，对于(K是一个峰值插值集)。
对所有人来说。
如果是K的一个峰值函数，那么它就是一个沿任意以K为终点的曲线上无极限的有界全纯函数。
本文首先描述了紧集保证Hausdorff维数等于1的一些性质(见引理2.2)。实际上，递归划分为相等的区间，并在较小的区间内进行选择，区间的长度由参数控制就足够了。然后我们将证明特殊齐次多项式的组合保持这个性质(见引理2.5)。接下来，我们放大构造多项式的大(实部)值，并抑制太小的值(见定理3.1)。
我们使用以下符号:
对于直径为d(U)的开集和可数族，我们定义了
现在我们有了豪斯多夫测量法
其中最小值被取为E的所有可计数覆盖。我们可以定义豪斯多夫维数
在哪里。
对于一个给定的
我们使用下面的Tumanov引理来计算Hausdorff维数:
[18，引理3]Let和Let是一个递减到0的正数序列。对于给定的，设为[0,1]的一个子集。让我们定义一个区间和。
假设:
在每一个区间中至少有一个区间。
间隔和之间的距离至少是
对。
然后在哪里。
事实上，E的关键性质给了我们一个如此大的集合以至于不可能直接使用图马诺夫引理。幸运的是，我们可以选择E的一个子集，我们可以很容易地使用这种方法。
设一个自然数序列和一个正数序列满足，for和for。让，和。假设紧集的递减序列具有如下性质:
如果并且存在这样的
然后在哪里。
让和。设一个极大可能子集
这样间隔和之间的距离至少是
对。让我们注意到，如果和之间的距离至少是，那么在不失去一般性的情况下，我们可以假设对所有的。
对于给定的，我们表示。
让和
随它去吧。的长度
比存在的更大吗
所以存在。而是的最大可能子集
所以存在着，这意味着
所以(a, b)至少包含一个元素。
因为我们有:
敌我识别。因为我们可以用引理2.1得出结论，这就完成了证明。
我们需要从[7]中得到多项式，但带有Lipschitz常数:
对于每一个足够大的和，我们可以选择一个次为m的齐次多项式序列满足
对所有人来说，
对所有人来说，
为
设从[7，引理2.1]开始。因为我们可以从[7，引理2.5]中选择C。设从[7，引理2.3]为和。对于固定的最大分离子集。利用[7，引理2.3]，我们可以将A划分为最多K个不相交的子集。我们的定义与[7，定理2.6]相同:
对。
使用与[7，定理2.6]相同的参数，我们得出性质(1)-(2)。
因为我们可以用[7，引理2.5(4)]来观察
对。现在我们可以估计:
对。
由于我们使用齐次多项式和李普希茨函数的组合，我们将需要以下工具来进行有效的小区间积分。
设f是[0,1]上的一个Lipschitz函数
如果我们可以估计
我们重要的E的一维性质(引理2.2)是由多项式保持的:
存在一个常数使得对于给定的Lipschitz正函数h存在一个常数使得对于所有足够大的函数我们可以选择多项式
,
为，，
因为存在着这样的一切:
上。
对于给定的连续正函数h on，我们可以选择全纯函数h on(见[7]):
上。存在这样的情况
对。就像引理2.3一样。对于给定的let。现在对于足够大且全部为正的m我们有并且存在次次齐次多项式使得:
,
,
对。
我们证明它足以定义，
和
因为m足够大。
我们有:
和
For和。此外，对于和m足够大:
让我们观察一下
现在我们可以利用引理2.4来估计m足够大的情况:
特别是存在这样的东西，所以我们有:
在不失去一般性的前提下我们可以假设m很大，我们有
自
我们可以估计:
这意味着
然后完成证明。
存在一个峰值集使得所有的豪斯多夫维数都等于1。
从引理2.5开始。
在构造期望的峰值集和函数F之前，我们给出了几个序列的归纳构造，这些序列满足以下性质:
，，，，，是一个多项式，-自然数的-紧子集。
， ，
，
脚注3
如果存在这样的
让我们观察到它们是由性质(1)定义的，所以假设它们具有性质(1)-(5)。
既然如此。对于给定的一个，存在一个具有下列性质的开邻域:
如果f是全纯的，则:
为了保证最后一个不等式，选择in的邻域就足够了。现在就足够定义任何一维复盘与。
让。因为是紧致的，所以存在这样的。我们可以选择一个正的Lipschitz函数h
,
,
上。
现在对于给定的h，我们可以使用引理2.5来选择对于所有足够大的我们可以选择多项式
,
为，，
因为存在着这样的一切:
(3.1)上。
我们可以定义。因为我们也可以假设对于足够大的。特别是可以是如此之大，以至于。现在我们可以定义，和。如果那么，或者。在这两种情况下我们都有(1)-(4)的性质。假设。现在对于给定的存在(3.1)。等等
我们刚刚证明了我们的序列满足(1)-(5)的性质。
让我们选择序列。这个集合是的紧子集。让我们考虑一下。如果我们能继续观察。特别地，Q是上的全纯函数和上的连续函数。
对于给定的索引，让它满足。我们有for和for，所以我们可以估计:
如果是的话。特别是
和。
如果那时有，那么我们就有。特别是
on，这意味着E是函数的峰值集。
现在我们计算每个切片上E的豪斯多夫维数。让我们观察一下:
对于一个给定的。此外，如果是一些，然后我们可以设置为。特别是
所以存在这样的
现在我们有:
所以我们可以用引理2.2得出豪斯多夫维数等于1的结论。
每个切片上Hausdorff维数为1的峰值集E最大可能的Hausdorff维数为。
它由Hausdorff测度的Fubini定理(见[18，命题2]和[20])推导而来。
让和，。那么就存在这样的峰集它的豪斯多夫维数等于1。
就像定理3.1的证明一样。观察到在每个切片交叉处包含一个豪斯多夫维数等于1的峰集就足够了。
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